尽管英文 psychological 和 mental 在词典释义上有差别，但你问的这两个词组则指的是同一件事。
mental health 是生活中通常用来指“心理健康”和医学意义上的“精神方面健康”。比如 He is mentally strong/healthy. 意思是他有健康的生活意识，意志坚强等。而 He is mentally ill 则可能指他有精神疾病。
psychological health 是心理医学名词，也包括上面的内容，但生活中却不常用。人们听到这个词时会有“咬文嚼字”的感觉。但它传递的信息和 mental health 并没有什么不同。正式文件里这个词组出现的机率恐怕会高一些。例：
Championed by the Mental Health Commission of Canada (MHCC), and developed by the Canadian Standards Association (CSA Group) and the Bureau de normalisation du Québec (BNQ), the Standard is a voluntary set of guidelines, tools and resources focused on promoting employees’ psychological health and preventing psychological harm due to workplace factors.