第1题虽然-(Pi^2/6) 这个结果虽然很美妙，但是过程是错的，原因是在没有论证一致收敛情况下，积分求和交换顺序不一定相等，而这道题恰好不相等，可以论证如下：
整体可积局部可积，在（0，1/2）处考虑，lnx/(1-x)<=2lnx<0,但是lnx在（0，1/2)不可积，那么比他更小的肯定不可积了
第二题ArcSinh[1]/Sqrt[2]的确是对的。。。我的程序有问题。con的解法是对的，比较Taylor展式，凑出来的
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n = 1;
double sum = 0;
double base = 1;
for(n=1;n<10000;n++){
base*=(1.0/2);
sum+=(base/(2*n-1));
}
cout << sum << endl;
system("pause");
}
第三题倒是好做，ln(2+1/n)/根号（3n-2)(3n+2)和1/n同阶无穷小，但级数1/n的和不收敛，这个也不收敛了
第四题，我认为你说的是fk=(n=1->k)n^2(x^n+1/x^n)/e^n形成的{fk}是在[1/2，2]一致收敛的吧，要不然你这个是一个函数，不用判断一致收敛性只有一致连续性
利用Abel判别法，1/n^2部分和一致收敛，(x^n+1/x^n)n^4/e^n对每个x属于[1/2,2]都是单调的，而且一致有界，必然{fk}一致收敛
当然了，我说的显然那是不对的，数学的词典里没有“显然”这个词，昨天有点烦了，就随口说了，实在不该
我的答案仅供参考，关于第四题，改一下题吧。。。