Er hat nur Erster Klasse.
视频讲解：Erster Klasse是第二格，固定用法
我觉得老师讲得对，因为是初级德语课程所以没有讲透彻。下面是我自己的理解：
查《朗氏德汉双解大词典（修订版）》：
Klasse die; -, -n
就是说Klasse是阴性名词，第二格Klasse，复数Klassen
又Erster的词尾变化同形容词词尾变化，句中Erster用的是阴性名词第二格词尾-er，综上Klasse是第二格。
此外，《朗氏》Klasse也列有类似的示例：
ein Abteil erster, zweiter K. 头等、二等车厢；
erster, zweiter K. fahren, fliegen 乘坐头等、二等车厢/舱
原句Erster Klasse的Erster首字母大写，很可能Erster作名词用，意思根据语境推测可能是ein Abteil erster Klasse，也可能是eine Fahrkarte erster Klasse，翻译过来就是“一等车厢”或“一等车票”。