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数学题解词典几何

解答:(1)①猜想BG=DE,且二者所在的直线相互垂直。

∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形。

∴BC=DC,CG=CE,∠BCG=∠DCE=90°

∴△BCG∽△DCE

故BG=CE,∠BGC=∠DEC

又∠BGC+∠CBG=90°

∴∠DEC+∠CBG=90°

BG与DE所在直线被BC所在直线所截,形成的同旁内角互为余角,则直线BG⊥DE.

②任然成立。

证明:如图二所示,在正方形ABCD与CEFG中,∠BCD=∠GCE=90°

∵∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG,即∠BCG=∠DCE=90°

BC=CD,CG=CE

∴△BCG∽△DCE

∴BG=CE,∠CBG=∠CDE

又∵∠CBG+∠BHC=90°

∴∠CDE+∠BHC=90°

则BG与DE所在直线被DC所截形成同旁内角互为余角,有直线BG⊥DE.

(2)如图五所示,在矩形ABCE与CEFG中,∠BCD=∠GCE=90°

∵∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG,

有∠BCG=∠DCE=90°

∵AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb

BC/CD=b/a,CG/CE=kb/ka=b/a

∴△BCG∽△DCE(对应两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)

有∠CBG=∠CDE

∵∠CBG+∠BHC=90°

∴∠CDE+∠BHC=90°

则BG与DE所在直线被DC所截形成同旁内角互为余角,有直线BG⊥DE.

又∵在矩形ABCE中,a,b不相等?

∴b与a的比值不为1,有BG不等于DE

故,(1)中结论只有BG与DE所在直线垂直这一条仍成立。