首先普及两个小知识给你。
1在英语中有很多动词及物还是不及物是需要看词的意思的。
2有些动词有他的固定搭配，这个时候不应该以及物或者不及物去区分他，记住搭配就好了。
以save这个动词而言（一下内容来自于金山词霸，多利用工具书，电子词典很方便）
vt.
拯救, 挽救
He saved her life ever.
他曾经救过她的命。
vt. & vi.
储蓄, 贮存
He has never saved.
他从来不储蓄。
节省
I am going to take the bus to save money.
为了省钱, 我打算乘公***汽车去。
然后再结合你问题中的save energy和save on water解释一下。
首先说 save water 和save on water都是正确的。
on这个介词在这里表示“在……方面”。
但是这两者强调的东西是不一样的，具体的含义你可以去问问在写这个标语的人了。
其二save在做“节约”讲的时候vi表示纯粹泛指节约这一动作。
vt表示具体节约什么所以后面要借宾语。
PS：这个词还有很多意思以及同类词语的区别可以查查词典。