“变量之间的关系能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数”（以下简称“能表示”）称为代数函数。
例如y=x^2+2x+1，y经过了x和实数的一次乘方、一次相乘、两次相加***四次运算得到。
又如y=(x+3)/(x-2)^0.5，经过了一次相加、一次相减、一次开方、一次相除***四次运算得到。
以上都是有限次得到，故称为代数函数。
但是所谓“不能表示”的函数，就意味着用有限次计算不能得到。这种函数就称为超越函数。
例如，以后要学到的公式中有这样的公式：
e^x=1+x+x^2/2+x^3/3!+x^4/4!+……
就是e的x次方（指数函数）可以表示成一些项的和，其中第n项的表达式是x的n次方除以n的阶乘。
但是这个表达式是无限的表达式，也就是不能用有限次加减乘除写完这个表达式。
同样的，对数函数、三角函数、反三角函数的表达式也是不能用有限次加减乘除乘方开方表达出来，也是超越函数。
超越函数有个很麻烦的缺点就是遇到有超越函数的方程，很多情况下解不出来。例如sinx=x，或者e^x=sinx，很简单的表达式也没法解。而只含有代数函数的表达式就可以化为多项式方程来解（会不会解另说）。
超越函数的名字来源于超越数，例如圆周率pi，自然对数的底e，虽然它们可以通过代数数（是整系数代数方程的解，简单说就是可以用整数通过有限次加减乘除乘方开方得到）来不断接近（祖冲之计算圆周率就是例子），但是只有进行了无限次接近时才能得到准确值——这就不能用有限次表示了，称为超越数。
超越函数的名字只是简单套用而已。