They speak no english和They don't speak english 应该都是可以的吧。这两句都可以翻做他们不说英语。但是下面一句：They speak not english.是错误的，not一般与助动词如do,have或情态动词will,may,can,must等连用表示否定，而不能单独使用。又比如：
They have no time. They don't have time都表示他们没有时间。而不能说They have not time. Don't 就是do not的缩写形式。
其实学习英语有时并不需要刨根问底，只要理解个大概就行。主要是记忆，背清楚了再做些相关的练习就基本能掌握了。所以我建议你找几个否定的例句相互比较一下，搞清楚词性，再清清楚楚地背起来，做几个习题。这样以后看到否定句就不会糊涂了。
不知道我的建议对你有没有用？