弦论里有大量代数几何的应用。这是一个过于庞大的话题,下面仅零碎地举几个例子。细节会越来越少,跟实际应用多寡完全不成比例。经典教科书1有专门章节提供用到的代数几何知识,但是不代表只有这些被应用了,前沿的弦论研究和大量的代数几何研究交织在一起,见文末讨论。粗略地追究一下,起点可能是弦论在卡拉比-丘(Calabi-Yau)流形上的紧化(compactification)。也就是科普语言里说的在我们的四维时空的每一点都蜷着一个六维的卡拉比-丘空间(“弦论居住的房子”)。丘成桐对陈(陈省身)示性类为零的卡拉比猜想的解决使得我们对这类流形有了一个简单的代数几何刻化。这样相关的代数几何工具就进入物理学家的视野了。先讲代数几何在弦理论里面一点比较具体的应用(含现实的物理意义):
在杂化弦论(heterotic string)中,规范场作为Hermitian-Yang-Mills方程的解的存在性对应于一些全纯向量丛的稳定性(slope stability),这(在适当的条件下)被称做Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理,或者Kobayashi-Hitchin correspondence。到这一步涉及的对象还是复几何的,然而稳定性的条件可以在代数几何的范畴里研究。同时,计算这些向量丛的上同调对应于数场(massless chiral superfields)的数目。而这些计算也可以通过范畴等价(GAGA,代数几何与解析范畴的对应)转化为代数几何问题进行计算。沿着这一思路,参考文献2试图从弦理论回到场论标准模型:从杂化弦出发,能够找到这样的弦论模型1,使得它在低能状态下能够重现超对称标准模型(minimal supersymmetric standard model, MSSM)里的场,不多也不少。当然场的耦合强度还需要更细致的计算。这部分工作算是弦唯象理论(string phenomenology)。然后接着卡拉比-丘流形说,在两个不同的卡拉比-丘流形上的弦理论可以通过镜对称(mirror symmetry)建立对偶,与此相关的Calabi-Yau / Landau-Ginzburg correspondence, Gauged linear sigma model 等等都用到很多代数几何的工具。再有比如super-Riemann surfaces and supermoduli space,bosonic string 只在26维良定义的代数几何/模空间解释,F理论里模型整个建立在elliptically fibered Calabi-Yau fourfolds上,尤其关注其中的退化的纤维(singular fiber)。从物理角度看,代数几何工具并不比其他工具有什么特殊的,跟微分几何、辛几何以及其他工具交织在一起。很多比较“高阶”的构造比如derived categories,gerbs and stacks物理学家也都在积极应用。从数学物理角度看,弦论提供了很多有价值的数学问题,代数几何相关的领域有Homological Mirror Symmetry, Enumerative Geomegry, Geomeric Langlands 等等等等。