你好，chef就是厨师，至于living，我查来查去只是以下几个基本意思：
（灵格斯词霸-美国传统词典）
living
adj.（形容词）
1. Possessing life:
有生命的：
famous living painters; transplanted living tissue.
在世的著名画家；移植活性组织
2. In active function or use:
活动中的，应用中的：
a living language.
仍在使用中的语言
3. Of persons who are alive:
世人的：
events within living memory.
仍在世人记忆中的事件
4. Full of life, interest, or vitality:
生动的：充满生机、兴趣或活力的：
made history a living subject.
使历史成为生动有趣的科目
5. True to life; realistic:
栩栩如生的；现实的：
the living image of her mother.
她母亲的逼真形象
6. Informal Used as an intensive:
非正式用语 用作加强语气：
beat the living hell out of his opponent in the boxing match.
在拳击比赛中痛击对手
n.（名词）
1. The condition or action of maintaining life:
生活：维持生命的状态或行动：
the high cost of living.
很高的生活费用
2. A manner or style of life:
生活方式或风格：
preferred plain living.
偏爱简朴的生活
3. A means of maintaining life; livelihood:
谋生手段；生计：
made their living by hunting.
靠打猎为生
4. Chiefly British A church benefice, including the revenue attached to it.
多用于英国 教产：教堂的圣俸，包括附带的税收收入
所以living chef的意思，有两种可能：
1.活着的、在世的厨师
例如，the greatest living chef of Italy
意大利当今（在世的）最出色的厨师
2.可能原文缺少标点或您看错了，这两个词不在同一句子当中，无法翻译