这里可以先参考知乎回答中的部分内容：
从数学的角度，提供一个形象有趣的解释。理解傅里叶变换的钥匙是理解基♂，它能让你重新认识世界。
假设一个科研所有四个所长（一正三副），四个所长各司其职，把整个科研所的事物管理得井井有条。这四个所长，少一个，单位的工作无法顺利展开，多一个碍手碍脚事倍功半，他们四人一道就组成了科研所的一个"基"。 一个单位的基可能不是唯一的，四个人换换位置工作也能展开，调走一个人再换一个人来顶替，单位亦可以正常运转，但是4这个数是不能变化的（数学语言：空间的维数固定不变）。 总结：一组基，就是足够能描述、表达某类事物的最少的一小撮元素们。
我们把科研所的日常事务换成感情，把四个所长换成语言字典重新来叙述。 假设你爱上了一个人，需要向她表达感情。这时就需要一套表达感情的工具——语言。如果使用汉语，你可以说"我爱你"，如果使用英文，你可以说"I love you"。汉语的所有词汇构成了一个集合，英语的所有词汇也构成了一个集合，它们都可以描述感情、感觉、事物和知识，它们是两套不同的描述系统，分别有自己的基。 总结：描述事物的基可以有很多套。
汉语的词汇量很大，有很多重复意义的词，比如我爱你就可以重新表述为："俺爱你"，"我爱侬"，"我想和你困觉"等等。我们把汉语词汇中所有同意的词只保留一个（数学语言：使线性无关），留下来的词汇量较少的词典就是汉语的一个基，里面的每一个词被称作基函数。它的特点是：所有汉语能描述的思想都可以用从这个较小的词汇本中挑出的一些词汇（基函数）经过精心安排（加权相加）来描述，并且只有一种描述方式（数学语言：若基固定，则对应系数/坐标确定），因为我们已经去掉了所有冗余的、近似的词汇，因此不存在一个事物在一个基下有两种不同表示法存在。 总结：一套基中的元素很多，足够描述事物，只要从中挑出一些你需要的，按某种方式组合在一起即可，一套基中的元素很少，以至于这种描述事物的方法是唯一的。
给定两个不同的语言，给出两个不同语言的小字典（两组基），我们都可以分别用唯一的方式表达同一思想（函数、点），这两种表示法之间可以相互转换（数学语言：坐标变换）。"I love you"和"我爱你"可以相互转化。 总结：给定一个基，我们就可以用这组基表达事物，也可以用它来翻译用其他基描述的事物，不同基下的表示可以相互转换。
/video/BV1ys411472E?p=13
在这个视频中，向量还是同一个向量，但是选取的基坐标不同，即坐标轴的方向和网格间距不同。不过，坐标原点是一致的。那么，两个坐标系的向量如何转化呢？
比如说，詹妮弗用坐标(-1,2)描述一个向量，如图，绿色和红色是她的基，可以看出黄色向量分解之后正是(-1,2):
但是，她的i帽在我们的坐标系中实际上是(2,1)，j帽是(-1,1)，那么她说的向量(-1,2)在我们的坐标系中是什么呢？
但是这和之前还是有差别的：之前是真的有变换，而现在这个向量其实并没有动，只是不同基的坐标表示不同。之前为了描述一个变换，实际上是让坐标系i帽和j帽在变，比如逆时针旋转90度，坐标系的i变成了0，1；j变成了-1，0。所以任意向量逆时针旋转90度之后结果是这样的：
也就是说，之前讲的是特定向量进行线性变换后，在原坐标系中的样子，其实是一个向量变成了另一个向量。现在说的是，另外一个坐标系中的向量，在我们坐标系中是什么样子，其实是同一个向量。
然而，为什么詹妮弗的(-1,2)在我的坐标系中就是(-4,1)呢，我看了视频被绕晕了，也没有搜索到什么结果，仅有的几个帖子也只是在转述原作者的思路和截图，没有人解释为什么……
这里，我来说说自己的理解，未必正确，如果有人能在评论中指点我更好。我的思路仍然是参考孟岩的理解矩阵：
注意看，引用中的黑体字。我们也可以理解为，詹妮弗坐标系中的向量，和我们在l单位坐标系中量出来的向量，正是同一个向量
我这个图搞得有点丑，我们可以把ma=lb对应起来，m就是詹妮弗对向量a即(-1,2)的一个环境声明。而我们的坐标系环境声明其实被省略了，现在要得到问号部分的值，即在我们的坐标系环境声明下，求出这个向量值。
视频作者紧接着提出，在我们的坐标系中，有一个坐标为(3,2)的向量。如何计算出它在詹妮弗的坐标系中坐标为(5/3,1/3)? 按照上面的思路，是这样的：
现在问号填入(5/3,1/3)，发现是正确的。当然这里可以使用逆矩阵，即：
然后就是结果了：
在我们的坐标系中，90度逆时针旋转，在詹妮弗的坐标系中如何描述？
这个其实是上面两个步骤的合并：
这里我们可以对任意向量这样操作，所以可以将第一步的(-1,2)变成向量v。现在这个变换，接收的是詹妮弗描述的向量，输出的也是詹妮弗描述的向量。
如果詹妮弗用这个矩阵与她的坐标系中一个向量相乘，就会得到其坐标系下该向量逆时针旋转90度的结果：
更通用的说法：
M代表了我们坐标系下的变换，而两边的则将结果变成从其他人角度来看的结果。