首先要明白一个道理，三角函数里的角度并非仅仅只是角度，它还是可以与时间挂钩的。我们会发现都不一样，并且随着时间的推移，这种状态继续保持着。如果我们来求脚踏与转轴中心的垂直高度差，我们发现这个值其实就是脚踏杆与转轴轴心平面的角度正弦值。但我们已经看出，此角度是时间的函数，从而得知脚踏与转轴中心的垂直高度差也是时间的函数。推而广之，三角函数既可以用来描述与角度相关的物理量，也可以描述与时间相关的物理量。例如电学里的电角度，并由此出现了无数运用；再例如空气动力学和流体力学里的临界角度，由此又引出了无数的运用。我们都知道，在复平面下，横轴是实数轴，而纵轴是虚数轴。若把高等数学运用到复平面中，则出现了复变函数。复变函数是流体力学与电学的基础数学工具，其中的各种函数变换，例如傅立叶变换和拉普拉斯变换等等，三角函数是绝对主角，特别是自动控制理论中，我们把常微分方程用拉普拉斯方法做复平面下的时域变换，构成所谓的传递函数，是我们研究自动控制的有力工具；若把微分方程用傅立叶方法做复平面下的频域变换，构成的模型能够帮助我们了解各种频带分布。在这里，当我们看到如此熟悉的正弦波时，是不是想到了三角函数的运用，分形被誉为数学最美丽的王冠，它其实就是函数迭代生成的图像。